Должна ли стоматологическая клиника уведомлять Роскомнадзор об обработке персональных данных?

Да, в соответствии с 152-ФЗ, если организация обрабатывает сведения о физических лицах (о своих сотрудниках и/или о клиентах), она должна уведомить об этом Роскомнадзор.

Также есть исключения, при которых подавать уведомление не требуется: https://normativ.kontur.ru/document?moduleId=1&documentId=395751&cwi=0#h222.
Важно понимать, что оператор не представляет уведомление только в том случае, если его деятельность полностью подпадает под данные исключения.

Сформировать уведомление и направить его в электронном виде можно на сайте РКН.