Чеки коррекции только в ФНС или клиенту тоже?

Анастасия, добрый день
Конечно, лучше бы указывать данные клиентов в чеке коррекции.
Но, немного вас успокою:
1. чек коррекции - это все-таки больше ваша индульгенция перед ФНС, чем перед клиентом. Чек позволяет не получить штраф за неприменение ККТ (к слову, самый высокий среди всех штрафов в сфере ККТ).
2. ФНС вообще пересматривает свой подход к выдаче чеков ИП, оказывающим образовательные услуги. Сейчас от применения ККТ освобождены образовательные организации при безналичных расчетах (но не ИП). И вот, чтобы восстановить справедливость, в 54-ФЗ планируют внести правки и разрешить ИП также не применять кассу, если клиенты им платят исключительно на расчетный счет. Это пока только проект. Но вероятность принятия высока.

Поэтому, я бы не стала переживать и исправлять что-либо.
Если клиент обратится к вам, чтобы получить чек, вы всегда можете его найти и отправить повторно из ЛК ОФД.
ФНС смотрит формально на адрес эл. почты - он должен быть в чеке, если касса используется в интернете, а уж, что там написано автоматика не проверяет.

Хорошего дня