Добрый день.
Обязательно нужно ставить на учет. Но есть нюансы. В соответствии с п.42 Постановления Правительства РФ от 15.01.2007 N 9 (ред. от 26.10.2016) "О порядке осуществления миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации" при изменении сведений об иностранном гражданине, документе удостоверяющем личность, .... принимающая сторона обязана в течение 3 рабочих дней сообщить об этом непосредственно в УВМ МВД, представив письменное заявление произвольной формы с приложением заполненного бланка уведомления о прибытии и копий необходимых документов. Т.е. в данном случае сотрудники МВД требуют, чтобы новое уведомление было предоставлено на бумаге. Кроме того, Вы указали, что у иностранного гражданина есть виза. Иностранному гражданину необходимо восстановить ее в новом паспорте или получить выездную визу из РФ к новому паспорту.
Обратитесь, пожалуйста, в УВМ МВД по порядку восстановления полного комплекта документов и не забудьте снять с учета по старому паспорту, когда будет постановка по новому документу.

в произвольной форме напишите письмо, что в связи с получением нового паспорта... просим поставить на учет гр...... + новое уведомление с данными нового паспорта+ копии всех его документов

Дата въезда в РФ и миграционка остаются прежние, ведь ничего не изменилось, а вот данные визы, паспорта и соответственно срок нахождения по этим документам- новый. Не забудьте оформить снятие по старой регистрации, когда оформите новую.

если вы работаете в нашей программе, то надо нажать кнопку и отправить сведения о снятии. Если на бумаге- то сдать первый корешок о постановке на учет.

я рекомендую делать сопроводительное письмо, на котором сотрудники МВД должны сделать отметку о приеме документа.