Признаки, указываемые в чеке клиенту

Юлия, добрый день.
Вы заблуждаетесь.

Если агент действует от своего имени, то обязанность по регистрации и применению ККТ возникает у агента, хотя услуги будет оказывать принципал. При реализации товаров или услуг сторонних организаций, агент в чеке к соответствующей позиции должен указывать следующие реквизиты:
- признак агента
- наименование и ИНН поставщика - т.е. принципала

В случае отсутствия в структуре кассового чека указанных реквизитов к соответствующей позиции чека вся сумма расчета будет считаться выручкой агента (письмо ФНС России от 10.10.2022 N° АБ-4-20/13456@).

Если сделка совершается агентом от имени и за счет принципала (сторонней организации), то обязанность по регистрации и применению ККТ возникает у принципала. Принципал и агент могут зафиксировать в договоре, что агент будет за принципала формировать чек (и тогда нужно указать данные принципала в чеке, как в пункте выше описала), либо принципал может передать агенту ККТ, зарегистрированную на себя (это не самый удачный вариант, на мой взгляд).

В вашей схеме, чека два: первые - на предоплату и второй на Полный расчет с зачетом предоплаты.
Так как предоплату принимает агент, то чек формирует он.
А вот услугу по проживанию оказывает принципал, значит и чек на Полный расчет с зачетом предоплаты обязан сформировать принципал.

Хорошего дня