Можно ли мужу оформить декретные выплаты, а жене — стаж?

Добрый день!
На оба вопроса ответ положительный. Законодательством такой вариант действий допускается.
ст. 256 ТК РФ:
По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет.
Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

Право на получение пособия по обязательному социальному страхованию сохраняется в случае, если женщина или лица, указанные в части второй настоящей статьи, выходят на работу (в том числе на условиях неполного рабочего времени, работы на дому или дистанционной работы) из отпуска по уходу за ребенком до достижения им возраста полутора лет или в период указанного отпуска работают у другого работодателя.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).
Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения страховой пенсии по старости).

Ч.4 ст.11.1 Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ:
В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.

Ст.12 Федеральный закон от 28.12.2013 N 400-ФЗ:
В страховой стаж наравне с периодами работы и (или) иной деятельности, которые предусмотрены статьей 11 настоящего Федерального закона, засчитываются:
3) период ухода одного из родителей за каждым ребенком до достижения им возраста полутора лет;

Супруга может оформить отпуск по уходу после вашего выхода на работу, но выплата пособи будет продолжена вам до исполнения ребенку 1,5 лет (выплата продолжается тому, кому назначена , даже если отпуск оформлен обоими родителями). Прекращена она будет только в случае вашего увольнения.
Включение в страховой стаж не ставится в зависимость от получения пособия. Работодатель супруги в сведениях о стаже должен отразить период отпуска по уходу до 1, 5 с кодом ДЕТИ. Ваш работодатель должен указать этот код только на период нахождения в отпуске (например, на неделю), а далее обычный период работы, так как выплачивается зарплата и начисляются страховые взносы.