Может ли отец уйти в отпуск и выйти на работу на полную ставку? Что в таком случае нужно делать матери?

Добрый день!
На ваши вопросы ответы содержатся в статье 11.1 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ:
1. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу, другим родственникам, опекунам), фактически осуществляющим уход за ребенком и находящимся в отпуске по уходу за ребенком либо вышедшим на работу из этого отпуска ранее достижения ребенком возраста полутора лет в соответствии с частью 2 настоящей статьи, со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет.

2.Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком сохраняется в случае, если лицо, находящееся в отпуске по уходу за ребенком, выходит на работу (в том числе на условиях неполного рабочего времени, работы на дому или дистанционной работы) из отпуска по уходу за ребенком ранее достижения ребенком возраста полутора лет или в период этого отпуска работает у другого страхователя (в том числе на указанных условиях).
...
4. В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.

То есть, отпуск по уходу за ребенком может оформить отец. Назначенное ему пособие будет выплачиваться и в случае его выхода на работу на полную ставку. Мать тоже может оформить отпуск по уходу, но уже без пособия.