Может ли отец ребенка оформить пособие и выйти сразу же работать на полную ставку?

Добрый день!
Может. Это следует из норм, установленных статьей 11.1 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ:
1. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу, другим родственникам, опекунам), фактически осуществляющим уход за ребенком и находящимся в отпуске по уходу за ребенком либо вышедшим на работу из этого отпуска ранее достижения ребенком возраста полутора лет в соответствии с частью 2 настоящей статьи, со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет.

2. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком сохраняется в случае, если лицо, находящееся в отпуске по уходу за ребенком, выходит на работу (в том числе на условиях неполного рабочего времени, работы на дому или дистанционной работы) из отпуска по уходу за ребенком ранее достижения ребенком возраста полутора лет или в период этого отпуска работает у другого страхователя (в том числе на указанных условиях).

4. В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.