Можно ли супругу оформить отпуск по уходу за ребенком до 1,5 лет, а матери не увольняться?

Добрый день!
Да, такое возможно.
Ваш супруг должен подать заявление о предоставлении отпуска по уходу за ребенком с даты, следующей за днем окончания вашего отпуска по беременности и родам. Одновременно с заявлением о назначении пособия. Через пару дней он может выходить на работу и продолжит получать пособие.
Вы подаете заявление на предоставлении отпуска по уходу за ребенком без заявления о назначении пособия.

Основания:
Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ, статья 11.1

1. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу, другим родственникам, опекунам), фактически осуществляющим уход за ребенком и находящимся в отпуске по уходу за ребенком либо вышедшим на работу из этого отпуска ранее достижения ребенком возраста полутора лет в соответствии с частью 2 настоящей статьи, со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет.

2.Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком сохраняется в случае, если лицо, находящееся в отпуске по уходу за ребенком, выходит на работу (в том числе на условиях неполного рабочего времени, работы на дому или дистанционной работы) из отпуска по уходу за ребенком ранее достижения ребенком возраста полутора лет или в период этого отпуска работает у другого страхователя (в том числе на указанных условиях).
...
4. В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.